视角下无穷级数概念引入的教学

无穷级数是微积分中的一个重要概念，它体现了无限与有限的辨证统一，在自然科学、工程技术等领域发挥着重要的作用。本文主要从数学史与数学教育（History & Pedagogy of Mathematics，HPM）的视角，以发生教学法为基础，设计了“无穷级数概念引入”的教学，整个过程环环相扣，不断激发学生的求知欲望。实践表明，HPM视角下的无穷级数教学有助于学生对其概念的理解和敛散性判别方法的掌握。

无穷级数是《高等数学》的一个重要组成部分，它可以用来表示函数、研究函数的性质及进行数值计算。无穷级数在自然科学、工程技术等领域发挥着重要的作用，它的一个重要应用—近似求值，正是贯穿于整个高等数学内容的极限思想方法的充分体现。然而，在“重应用”的背后却隐藏着“轻概念”的忧患。级数概念涉及极限思想，“无穷”、“极限”这些曾经让古希腊人惧怕的概念，在当今的高等数学教学中也很容易被教师忽视。然而，“无穷级数”的概念在微积分中的作用不容忽视，它体现了无限与有限的辨证统一，有助于学生理解极限思想，为学生更好地学习微积分打下良好的基础。

基于此，笔者研究了如何将数学史[1]融入到级数概念的教学中，并主要围绕以下3个研究问题展开：①在教学过程中融入数学史，是否有助于学生更好地理解级数中的极限思想？②学生是否乐于接受这种融入数学史的教学方式？③在教学过程中融入数学史与直接使用数学史的主要区别是什么？

1 历史与认知

1.1 无穷级数概念的历史分析

无穷级数曾在希腊数学里出现过，尽管希腊人很惧怕无穷，并且试图用有限和来代替无穷和，但这些只是潜无穷与实无穷的差别。芝诺[2]（Zeno of Elea，约公元前490～约公元前425）的二分法涉及把1分解成这样一个无穷级数：亚里士多德（Aristotle）也认为这种公比小于1的等比级数有和。阿基米德[3]（Archimedes，公元前287一公元前212）在其《抛物线图形求积法》一书中，使用了等比级数求抛物线弓形面积，并给出了它的和。中国古代《庄子·天下》一书中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也含有极限的思想，其用数学形式表达出来也是无穷级数。

在中世纪，无穷级数一度使那时的哲学家与数学家着迷，一方面引起了他们对“无穷”的兴趣，另一方面又使他们围绕一些明显的悖论展开激烈的争论。例如，休塞特[4]（Richard Suiseth或Swineshead）曾解决了这样一个问题，它可以借助于运动这样描述：

若一质点在某段时间的前一半以不变的初始速度开始运动，在接下来的四分之一时间中以二倍的初始速度运动，而在随后的八分之一时间中以三倍的初始速度运动，……，就这样无限继续下去，则这个质点在整个这段时间的平均速度等于其初始速度的二倍。如果把这段时间的长度和初始速度都取作一个单位，则该问题等价于这样一个级数求和

奥雷姆[5]是这方面最杰出的代表人物。他有着许多天才的思想，尤其是“无穷”的思想。他明确了等比级数有两种可能性，当其公比大于或等于1时，无穷等比级数有无穷和；而当公比小于1时有有限和。在《欧几里德几何问题》（1350）一书中，他用严格的方式证明了当无穷级数项的值不是按比例减少时，其和也能是无穷，并在书中用调和级数作为例子进行了探讨。

此后，无穷级数的研究在十五、十六世纪继续以休塞特和奥雷姆的方式前行，但由于其方式仅限于文字叙述和几何方法，因此没有取得重大的进步。无穷级数早期研究工作的主要贡献不在于所得到的具体结果，而在于它能促使人们接受一种新的观点，那就是在数学中可以自由承认无限过程。因此，中世纪更有力的算术和代数方法为十七世纪关于无穷级数以及无限过程的重要工作开辟了新的道路。

1.2 学生的认知起点

为了把握学生的认知水平，了解大一学生对于无穷多个数相加的概念的了解程度，我们对学习《高等数学》的部分学生作了此概念的问卷调查，问卷中主要涉及以下几个问题：

问题一：请计算

问题二：根据问题一中计算的结果，请回答无穷多个数相加是否一定会得到一个数，即无穷多个数相加是否存在和；如果有和，这个和是否一定唯一？

对于问题一，参与调查的326名学生给出了以下几种不同的答案，为了更清晰地看出这一调查结果现将其列入表1。

表1 问题一的调查结果

文章来源：《农业工程技术》 网址: http://www.gcjszzs.cn/qikandaodu/2021/0626/2004.html