视角下无穷级数概念引入的教学(2)

对于问题二，有184名学生认为答案是肯定的，这一数字超过了参与调查人数的一半；而且由于问题一的计算结果，导致认为有和的大部分学生都觉得这个和不一定是唯一的。在参与调查的326人中，只有10人给出了该问题的正确答案。

由以上结果可以看出，学生对于无穷多个数相加是否存在和这一问题概念模糊。在问题一的解答过程中，大部分学生犯了这样几个错误：

（1）将有限个数相加满足的结合律（相加过程中任意添加括号）直接照搬到无限个数相加，这就导致了计算结果0和1的产生；

（2）将有限个数相加一定存在和这一结论直接照搬到无限个数相加，第三种计算过程中，实际已经承认为一个数，进而把它设为x，然后列方程进行求解。

以上两种错误都体现了学生对于从有限个数相加到无限个数相加这一过渡的认知存在误差，这一认知误差也为我们更好地设计教学过程提供了理论基础。

1.3 教学设计意图

（1）以历史上著名的芝诺悖论作为此次教学的序幕，可将学生带入一个熟悉而又陌生的领域，让学生对于即将讲解的数学概念产生兴趣。

（2）在学生充满求知欲的氛围中恰到好处地给出无穷级数的概念，让学生的一部分好奇心得到满足，并由此产生新的疑问：无穷级数何时存在和？

（3）无穷级数敛散性的判别方法呼之欲出，学生终于明白无限多个数相加不一定有和，因此对相关概念以及判别方法理解得更加透彻。

（4）趁热打铁，利用几个典型的例题让学生巩固无穷级数的概念和敛散性的判别方法，并由此解释之前产生的疑问，真正做到举一反三。

（5）当学生感到一切问题都迎刃而解时，提出新的思考，使学生再次产生求知的热情，对后续的教学内容充满期待。

2 教学设计

2.1 一个有意思的悖论

（1）向学生讲述一个历史上著名的芝诺悖论（Zeno's paradox）。

阿基里斯是古希腊神话中一位善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他的速度是乌龟的十倍，乌龟在其前面100米跑，他在后面追，但他却不可能追上乌龟。因为在竞赛过程中，追者必须首先到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟又向前爬了10米，这样，一个新的起点就产生了；于是阿基里斯必须继续追，而当他追上这10米时，乌龟又向前爬了1米，阿基里斯只能再追那个1米。一直这样下去，乌龟就会制造出无穷个起点，并且它总能在新的起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多么小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远追不上乌龟。

如图所示，开始时阿基里斯位于A点，乌龟位于B点，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m。当阿基里斯到达B点时，乌龟又向前爬行了10m，到达C点；当阿基里斯到达C点时，乌龟又向前爬行了1m，到达D点……

图1 阿基里斯追乌龟的图示

（2）向学生提问并与学生进行互动。

问题：你认为阿基里斯最终能不能追上乌龟？为什么？

问题提出后，学生们都表现得很活跃，觉得这是一个显而易见问题，都认为阿基里斯最终能追上乌龟，但问其原因时，答案却不是那么显而易见了：

学生一的回答：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者一定会追上慢跑者，这是常识；

老师的反问：我认为快跑者永远赶不上慢跑者：因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。

学生二的回答：阿基里斯一定能追上乌龟，因为我可以算出他追乌龟所用的时间，这就是我们小学做过的追及问题：设他追上乌龟用的时间为x，则可列方程：

解出即经过后阿基里斯就追上了乌龟；

老师的反问：你在假设他追上乌龟用的时间为x时，已经认为他追上了乌龟，因为只有当x是一个有限数（追及时间有限，即表示能追上）时，列的方程才有意义，才能进行求解。而现在的问题是，为什么他追及的时间是个有限值？

经过两轮的互动，学生们对这个看似简单又充满迷惑的问题产生了浓厚的兴趣，阿基里斯到底能否追上乌龟呢？

2.2 无穷级数概念的引入

在这个悖论中，最关键的就是阿基里斯追乌龟所用的时间，而这个时间可以表示为：

这是无限多个数相加，如果相加得一个有限数（存在和），则他追乌龟所用的时间是有限的，表示他能追上乌龟；反之，如果相加不是一个有限数（不存在和），则表示他不能追上乌龟。

文章来源：《农业工程技术》 网址: http://www.gcjszzs.cn/qikandaodu/2021/0626/2004.html